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3 极大值原理

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发表于 2018-8-24 15:58:09 | 显示全部楼层 |阅读模式
  第三章极大值原理(Maximum Principle) )、函数L、f均有连续可微要求。实际工程应用问题中, 这些要求一般无法得到满足。 为解决容许控制属于闭集的一类最优控制问题,前苏联数学家庞特里亚金(俄文,英文Pontryagin)受力学中 Hamilton原理启发,于1958年提出极大值原理并加以证明。 极大值原理将经典变分学推进到现代变分学,成为现代控制理论的重要基石。 极大值原理(MaximumPrinciple),或称最大值原理,也有称为极 小值原理或最小值原理(Minimum Principle)。 极大值原理的证明在数学上非常严格,本课程只从工程应用需要的理解程度出发对其进行简单推导。 3.1 泛函极值的充分条件 几个有关定义 正常场定义3-1:若(t,x)平面某一区域D上每一点都有曲线族中一条且 仅有一条通过,则称曲线族在区域D上形成一个正常场。曲线族上 点(t,x)处的切线的角系数称为场在点(t,x)的斜率。 中心场定义3-2:若区域D上曲线族的全部曲线都通过一点(t 它们形成曲线束,且束心也属于D,同时除束心外,曲线在D内不再相交,曲线布满区域D,则该场为中心场。 极值曲线:若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形 成,则称之为极值曲线场。 设有泛函 若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率,则可以证 明泛函增量可表示为 其中称为维尔斯特拉斯E函数。 维尔斯特拉斯E函数 (Weierstrass Erdmann Function) 泛函J在曲线上达到极值的充分条件 设泛函J在曲线c上达到极值,可分为弱极值和强极值两种 情况,其充分条件分别为: 对于c近旁所有点(x,t)以及近于p(x, 值,函数不变号,极小值时E0,极大值时E0。 对于c近旁所有点(x,t)以及任意的 值,函数 不变号,极小值时E0,极大值时E0。 3.2连续系统极大值原理 考虑系统状态方程(3-2-1) 其中, 初始状态(3-2-2) 终态满足(3-2-3) 其中, (3-2-4)约束,g为p维连续可微函数,pm。 求最优控制,满足上列条件,并使性能指标 (3-2-5) 达到极小值。 可以保证g非负;而由u(t)的分段连续性,有的分段连续性,则进一步有w(t)分段光滑连续。因此,可以采 用Lagrange乘子法进行求解。 u(t)有界一般可以考虑为是分段连续函数,对不等式约束则要设法转化为等式约束处理。 引进新变量Z(t)和w(t),取 (3-2-6) (3-2-7) ,构造广义性能指标(3-2-8) 求其一阶变分有(3-2-12) 定义 (3-2-9) (3-2-10) 则有 (3-2-11) 其中 (3-2-13) 式(3-2-14)中,由于,则有 (3-2-14’) (3-2-15) (3-2-16) 欧拉方程:(3-2-17) (3-2-18) (3-2-19) 横截条件:(3-2-20) (3-2-21) (3-2-22) (3-2-23) 欧拉方程:(3-2-24) (3-2-25) (3-2-26) 横截条件:(3-2-27) (3-2-28) (3-2-29) (3-2-30) ,以及在最优轨线节中泛函达到极值的充分条件,维尔斯特拉斯E函数在泛函极小值时沿最优轨线) 至此可以将庞特里亚金极大值原理表示为:控制变量u(t)是有第一类间断点的分段连续函数,属于m维空间中 的有界闭集Ω,满足不等式约束条件 定理3-1:设系统的状态方程为(3-2-1) 则为把状态x(t)自初始状态(3-2-2) 转移到满足边界条件 (3-2-3) 的终态,其中t 未知,并使性能指标(泛函)(3-2-5) 达到最小值,实现最优控制的条件是: (1)设u*(t)是最优控制,x*(t)为由此最优控制产生的最优轨线,则存在与其相对应的协态向量λ*(t),使x*(t)和λ*(t)满足规范方程组 (3-2-34) (2)在最优轨线上与最优控制u*(t)对应的Hamilton函数取最小值 (3-2-35) Hamilton函数在最优轨线终点处的值由下式决定(3-2-36) (t)的终值满足横截条件(3-2-37) (t)满足边界条件(3-2-38) 3.3极大值原理边界条件的几种典型情况 以下几种典型情况的分析将有助于解决实际问题,特别是如何确定解规范方程组的边界条件。 (3-2-36)式有,这为确定t 已经为规范方程组提供了2n个边界条件,无需λ(t)的任何约束。 此时有,h为n-k维连续可微向量函数。因 考虑特殊情况,则有 即状态终值为规范方程组提供n-k个边界条件,其余k个边界条件由协态终值提供。 自由这时 ,即协态终值为规范方程组提供所需的n个边界条件。 固定此时 不存在,因而横截条件(3-2-36)不存在,即t 以上边界条件处理情况同样也适用于经典变分法求解最优控制问题。3.4 极大值原理的典型应用之一 ——最短时间控制 最短时间控制又称为快速控制或时间最优控制,其基本特征是在满足一定约束条件前提下,取一控制作用(最 优控制),使系统以最短的时间从初始状态转移到给定 的某个终态,并使性能指标(3-4-4) 最小。其中 最短时间控制问题提法已知系统状态方程 (3-4-1) 连续可微。要寻找控制向量u,满足 以使系统从初始状态到达满足边界条件 (3-4-3) 运用极大值原理求解列出此最优控制问题的Hamilton函数: (3-4-5) 由极大值原理(3-4-6) 将上式两边展开分量,有(3-4-9) 则有(3-4-11) 假设各控制分量约束相互独立,则最小值应是(3-4-12) 所以,使性能指标取最小值的控制作用应为(3-4-13) 不定采用符号函数Sgn可表示为 (3-4-14) 时间最优问题的非奇异与奇异定义非奇异时间最优问题:函数 只在独立瞬间取0值。 奇异时间最优问题:函数 在区间[t ]中的一个或多个子区间上取0值。 “Bang-Bang”控制原理定理3-2: (t)是相应的状态和协态。若问题是非奇异的,则u*(t)的各分量 按下列关系确定,(3-4-14) 或写成更简洁的向量形式(3-4-14’) “Bang-Bang”控制:控制变量在最大值和最小值之间切换的控制方式。 也称“砰-砰”控制、双位控制,工程系统中非常普遍。 线性定常系统时间最优控制问题的 奇异性判定定理 定理3-3:线性时不变系统时间最优控制奇异的充要条件是当且仅当至少对某一j(j m),矩阵(3-4-16) 是奇异的,则该时间最优控制问题是奇异的。 (3-4-17)全部是非奇异的,则该时间最优控制问题是非奇异的。 有限切换原理(开关次数定理)由(3-4-13)式,最优控制u (t)如果存在,一定是在+1和-1两个状态进行切换。 对于线性时不变系统,最优控制u 定理3-5:有限切换原理设线性时不变系统 是非奇异的,且nn维 系统矩阵A的全部特征值μ 均为实数,时间最优控制u m)是其各个分量。用表示 分段恒值函数u (t)能切换(从+1到-1,或从-1到+1)至多n 二次积分(双积分)系统的时间最优控制问题二次积分(双积分)系统的数学表达式为 ,其物理含义为 惯性负载在无阻力环境中的运动。 考虑二次积分系统的状态方程为(3-4-18) 其中控制变量约束为 1。求最优控制规律u (t),使系统以最短时间从任一初态(ξ 此问题性能指标为,其中t 待定。由Hamilton函数 和极大值原理有 ,所以,由此可得 (3-4-19) 均为常数,解微分方程组可得(3-4-20) 的一次函数,为一直线)可得u*(t)与 关系图 +1-1 +1-1 +1-1 +1-1 由图可知,此问题只有4种可能的控制序列,即{+1},{-1},{+1,-1},{-1,+1},也就是最多只开关了一次。 采用最优控制u*(t),可以在平面上描绘最优轨线,以直观表 现双积分系统时间最优控制的特性。 考虑u*(t)在一段时间内是常数 ,可由状态方程(3-4-18) 得到x 的轨迹方程(3-4-21) 考虑,将上两式合并消去t 可得 (3-4-22) 图中抛物线上的箭头表示抛物线随时间变化的方 的运动轨线开关曲线 曲线 构成如图所示的开关曲线,将x 到达开关曲线从而使轨线到达原点; 达开关曲线 从而使轨线到达原点; )出发的最优控制规律u*可表示为: (3-4-24)此时,有最短时间t*为
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